Stochastic Integrals Driven by Isonormal Gaussian Processes and Applications

Abstract

Stochastické integrály řízené isonormálními gaussovskými procesy a aplikace Diplomová práce - Petr Čoupek Abstrakt V diplomové práci je podrobně studován stochastický integrál deterministických funkcí s hod- notami v Hilbertově prostoru v případě, kdy řídící proces je tvaru βt = t 0 K(t, s)dWs, kde W je Brownův pohyb a K je kvardaticky integrovatelné jádro. Takovéto procesy zobecňují případ frakcionálního Brownova pohybu BH , definovaného pomocí Hurstova parametru H ∈ (0, 1). Na jádro K jsou uvažovány dvě sady podmínek, odpovídající regulárnímu a singulárnímu případu a studován byl konkrétně případ regulární. Hlavním výsledkem je, že prostor β-integrabilních funkcí lze vnořit do prostoru L 2 1+2α ([0, T]; V ), což v případě frakcionálního Brownova pohybu odpovídá prostoru L 1 H ([0, T]). Dále byl zaveden cylindrický gaussovský volterrovský proces a vůči němu stochastický integrál deterministckých funkcí s hodnotami v prostoru lineárních operátorů. Výsledky byly dále aplikovány v teorii stochastických diferenciálních rovnic (SDR), konkrétně byla dokázána měřitelnost řešení dané SDR ve tvaru ,,mild ,, .

Stochastic Integrals Driven by Isonormal Gaussian Processes and Applications Master Thesis - Petr Čoupek Abstract In this thesis, we introduce a stochastic integral of deterministic Hilbert space valued functions driven by a Gaussian process of the Volterra form βt = t 0 K(t, s)dWs, where W is a Brownian motion and K is a square integrable kernel. Such processes generalize the fractional Brownian motion BH of Hurst parameter H ∈ (0, 1). Two sets of conditions on the kernel K are introduced, the singular case and the regular case, and, in particular, the regular case is studied. The main result is that the space H of β-integrable functions can be, in the strictly regular case, embedded in L 2 1+2α ([0, T]; V ) which corresponds to the space L 1 H ([0, T]) for the fractional Brownian mo- tion. Further, the cylindrical Gaussian Volterra process is introduced and a stochastic integral of deterministic operator-valued functions, driven by this process, is defined. These results are used in the theory of stochastic differential equations (SDE), in particular, measurability of a mild solution of a given SDE is proven.