Výpočtové problémy elementární teorie čísel

Abstract

Název práce: Výpočtové problémy elementární teorie čísel Autor: Mgr. Jiří Widž Katedra: Katedra didaktiky matematiky MFF UK Vedoucí rigorózní práce: Prof. RNDr. Štefan Porubský, DrSc. Ústav informatiky Akademie věd České republiky, v. v. i. Abstrakt: Ústředním pojmem předložené práce je pojem řetězových zlomků. V práci jsou podány historické souvislosti vzniku tohoto pojmu jako jednoho z nejstarších matematických prostředků. Technika řetězových zlomků patří do klasických partií matematiky a jejich obecná teorie je značně vrstevnatá a v učebnicích vyložená v závislosti od předpokládaného záměru použití. V předložené práci shrneme základy obecné teorie konvergence řetězových zlomků s důrazem na teorii jednoduchých řetězových zlomků a jejich nejčastější aplikace. Poukážeme na možnosti rozšíření pojmu řetězového zlomku na další struktury jako jsou např. Gaussova celá čísla nebo polynomiální řetězové zlomky. V části o maticových řetězových zlomcích ukážeme i na možnosti jeho rozšíření na nekomutativní algebraické struktury. V práci uvedeme použití aparátu řetězových zlomků na řešení diofantických a algebraických rovnic, na krácení zlomků, faktorizaci celých čísel, určení typu kalendáře i jako na prostředek jednoduchého útoku na kryptologický RSA systém, atd. Výklad provázíme konkrétními příklady. Poslední část...

Title: Computational problems of elementary number theory Author: Mgr. Jiří Widž Department: Department of Mathematics Education Supervisor: Prof. RNDr. Štefan Porubský, DrSc. Institute of Computer Science of the Academy of Sciences of the Czech Republic Abstract: The central notion of this presented thesis is the concept of continued fractions. The origin of this concept as one of the oldest mathematical methods is shown here in its historical connections. The technique of continued fractions belongs to classical parts of mathematics. Although the general theory of continued fractions is manifold and layered considerably, in textbooks it is usually treated according to the intended purpose of its use. In the present text we have summarized the foundations of the general theory of convergence of continued fractions with an emphasis on the theory of simple continued fractions and their most common applications. We show several possibilities how the concept of continued fractions can be generalized to other structures such as the Gaussian integers or polynomial continued fractions. In the chapter devoted to matrix continued fractions we shall demonstrate the possibility how to extend it to non-commutative algebraic structures. We also show how the apparatus of continued fractions can be used to solve...