Applications of descriptive set theory in mathematical analysis

Abstract

We characterize various types of σ-porosity via an infinite game in terms of winning strategies. We use a modification of the game to prove and reprove some new and older in- scribing theorems for σ-ideals of σ-porous type in locally compact metric spaces. We show that there exists a closed set which is σ-(1 − ε)-symmetrically porous for every 0 < ε < 1 but which is not σ-1-symmetrically porous. Next, we prove that the realizable by an action unitary representations of a finite abelian group Γ on an infinite-dimensional complex Hilbert space H form a comeager set in Rep(Γ, H). 1

Charakterizujeme různé typy σ-pórovitosti pomocí nekonečné hry a vítězných strategií. Použijeme modifikaci této hry k důkazu některých nových i známých vepisovacích vět pro σ-ideály σ-pórovitého typu v lokálně kompaktních metrických prostorech. Ukážeme exis- tenci uzavřené množiny, která je σ-(1 − ε)-symetricky pórovitá pro každé 0 < ε < 1, ale není σ-1-symetricky pórovitá. Dále ukážeme, že množina unitárních reprezentací konečné abelovské grupy Γ na nekonečně- dimensionálním separabilním komplexním Hilbertově prostoru H, které jsou realizovatelné akcí, je residuální v Rep(Γ, H). 1