Grassmanovy a vlajkové variety

Abstract

Název práce: Grassmannovy a vlajkové variety Autor: Jakub Eliáš Katedra: Matematický ústav Univerzity Karlovy Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Lukáš Krump, Ph.D., Matematický ústav Uni- verzity Karlovy Abstrakt: Tato bakalářská práce se zabývá popsáním Grassmannových a vla- jkových variet jako hladkých variet a jejich vlastností. K tomu je odvozen po- mocí teorie Lieových grup způsob, jak zavést hladký atlas na obecném kvo- cientu Lieovy grupy a její uzavřené podgrupy. Práce se skládá ze dvou částí. V první části shrnujeme základy potřebné teorie Lieových grup, zavedeme kvo- cient Lieovy grupy a její uzavřené podgrupy jako hladkou varietu a ukážeme, jak ho lze vyjádřit jako homogenní prostor. V druhé části zavedeme Grassman- novy variety a vlajkové variety (které rozdělíme na úplné a neúplné) a oba typy vyjádříme jako homogenní prostory. Klíčová slova: Grassmannova varieta, vlajková varieta, izotropní grupa, ho- mogenní prostor 1

Title: Grassmann and flag manifolds Author: Jakub Eliáš Department: Matematický ústav Univerzity Karlovy Supervisor: Mgr. Lukáš Krump, Ph.D., Matematický ústav Univerzity Karlovy Abstract: This bachelor thesis deals with describing Grassmann and flag man- ifolds as smooth manifolds with their properties. In order to do so we use Lie group theory to introduce a way to construct a smooth atlas on a general quo- tient of a Lie group and its closed Lie subgroup. The thesis consists of two parts. In the first part we summarize needed basics of Lie group theory, we introduce the quotient of a Lie group and its closed Lie subgroup and describe a means how to express it as a homogeneous space. In the second part we introduce the Grassmann manifolds and flag manifolds (which we break up to complete and partial ones) and express both types of them as homogeneous spaces. Keywords: Grassmann manifold, flag manifold, homogeneous space, isotropy group 1