Technique of operator algebras in quantum structures

Abstract

Název práce: Technika operátorových algeber v kvantových strukturách Autor: Mgr. Martin Bohata Instituce: Katedra matematiky, Fakulta elektrotechnická, České vysoké učení technické v Praze Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Jan Hamhalter, CSc. Abstrakt: Disertační práce se zabývá Bellovými nerovnostmi a částečným uspořádáním nazývaným *-uspořádání. Tyto dvě struktury jsou zkoumány pomocí teorie operátorových algeber. Studium Bellových nerovností je zaměřeno na CHSH verzi Bellovy nerov- nosti a její kvantovou formu nazývanou Cirel'sonova nerovnost. Cirel'sonova nerovnost je zobecněna do reálných a komplexních lineárních prostorů s pseu- doskalárním součinem. Výsledky obdržené na této abstraktní úrovni jsou aplikovány na studium maximálního narušení (CHSH verze) Bellovy nerov- nosti formulované v matematickém rámci *-algeber. Je ukázáno, že prvky maximálně narušující Bellovu nerovnost úzce souvisí s Pauliho spinovými maticemi. Tyto výsledky jsou také zobecněny do neasociativního případu Jordanových algeber. Další oblastí našeho zájmu je *-uspořádání. Toto částečné uspořádání je uvažováno na vhodných *-algebrách. Jako důsledek naší analýzy *-uspořádání na částečných izometriích...

Title: Technique of operator algebras in quantum structures Author: Mgr. Martin Bohata Institution: Department of Mathematics, Faculty of Electrical Engineering, Czech Technical University in Prague Supervisor: Prof. RNDr. Jan Hamhalter, CSc. Abstract: The thesis deals with Bell inequalities and a partial order called star order. These two structures are investigated by means of the theory of operator algebras. The study of Bell inequalities is focused on the CHSH version of Bell inequality and its quantum version called Cirel'son inequality. The Cirel'son inequality is generalized to real and complex linear spaces with a pseudo inner product. The results obtained on this abstract level are applied to the study of maximal violation of the (CHSH version of) Bell inequality formulated in the mathematical framework of *-algebras. It is shown that elements maximally violated the Bell inequality are closely related to Pauli spin matrices. These results are also generalized to the nonassociative case of Jordan algebras. The next field of our interest is the star order. This partial order is considered on certain *-algebras. As a consequence of our analysis of the star order on partial isometries, we obtain a new characterization of infinite C*-algebras. Then we investigate the infimum and supremum problem for the...