Banschewského funkce na komplementárních modulárních svazech

Abstract

Název práce: Banschewského funkce na komplementárních modulárních svazech Autor: Samuel Mokriš Katedra: Katedra algebry Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Pavel Růžička, Ph.D., Katedra algebry Abstrakt: Banaschewského funkce na omezeném svazu L je antimonotónní zo- brazení svazu L do sebe, které každému prvku z L přiřadí nějaký jeho komple- ment. Na libovolném nejvýše spočetném komplementárním modulárním svazu L existuje Banaschewského funkce, jejíž obraz M tvoří booleovský podsvaz v L. Takové M je navíc maximálním booleovským podsvazem L a je určeno až na izomorfismus jednoznačně. V této práci záporně zodpovídáme související otázku, zda jsou každé dva maximální booleovské podsvazy daného spočetného komple- mentárního modulárního svazu izomorfní a zda je každý maximální booleovský podsvaz daného spočetného komplementárního modulárního svazu L obrazem nějaké Banaschewského funkce na L. Protipříklad dále zobecníme pro větší mo- hutnosti množin; pro libovolný daný nekonečný kardinál κ zkonstruujeme kom- plementární modulární svaz L kardinality κ a maximální booleovské podsvazy B a E svazu L takové, že B není obrazem žádné Banaschewského funkce na L, že existuje Banaschewského funkce na svazu L,...

Title: Banaschewski function on countable complemented modular lattices Author: Samuel Mokriš Department: Department of Algebra Supervisor of the bachelor thesis: Mgr. Pavel Růžička, Ph.D., Department of Algebra Abstract: A Banaschewski function on a bounded lattice L is an antitone self-map on L that picks a complement for each element of L. On any at most countable complemented modular lattice L, there exists a Banaschewski function with a Boolean range M. Moreover, such M is a maximal Boolean sublattice of L and is uniquely determined up to isomorphism. In the thesis we give a negative answer to the related question whether all maximal Boolean sublattices in an arbitrary countable complemented modular lattice are isomorphic and whether every max- imal Boolean sublattice in an arbitrary countable complemented modular lattice L is the range of some Banaschewski function on L. We also generalize the coun- terexample to greater cardinalities; for a given infinite cardinal κ we construct a complemented modular lattice L of cardinality κ and maximal Boolean sublat- tices B and E of L such that B is not the range of any Banaschewski function on L, that there exists a Banaschewski function on L of range E, and that B is not isomorphic to E. Keywords: complemented modular lattice, Banaschewski function, von...