Study of Arithmetical Structures and Theories with Regard to Representative and Descriptive Analysis

Abstract

disertační práce Studium aritmetických struktur a teorií s ohledem na reprezentační a deskriptivní analýzu Petr Glivický Jsme motivováni otázkou vztahu lokálních a globálních vlastností operace o ve struktuře tvaru B, o s ohledem na aplikaci pro studium modelů B, · Peanovy aritmetiky, kde B je model aritmetiky Presburgerovy. Zajímá nás zejména problém závislosti, který formulujeme jako otázku určení uzávěru závislosti iclO (E) = {d ∈ Bn ; (∀o, o ∈ O)(o E = o E ⇒ o(d) = o (d))}, kde B je struktura, O množina n-árních operací na B a E ⊆ Bn. Ukážeme, že tento problém lze převést na otázku definovatelnosti v jisté expanzi B. Speciálně, je-li B saturovaný model Presburgerovy aritmetiky a O množina všech (saturovaných) peanovských součinů na B, dokážeme, že pro a ∈ B je iclO ({a} × B) nejmenší možný, tj. obsahující právě ty dvojice (d0, d1) ∈ B2, kde jedno z di je tvaru p(a) pro nějaký polynom p ∈ Q[x]. Uvedená problematika úzce souvisí s deskriptivní analýzou lineárních teorií, což jsou (až na změnu jazyka) teorie jistých diskrétně uspořádaných modulů nad určitými diskrétně uspořádanými obory integrity. Dokážeme tvrzení o eliminaci kvantifikátorů v lineárních teoriích a nalezneme prvomodely jejich...

of doctoral thesis Study of Arithmetical Structures and Theories with Regard to Representative and Descriptive Analysis Petr Glivický We are motivated by a problem of understanding relations between local and global properties of an operation o in a structure of the form B, o , with regard to an application for the study of models B, · of Peano arithmetic, where B is a model of Presburger arithmetic. We are particularly interested in a dependency problem, which we formulate as the problem of describing the dependency closure iclO (E) = {d ∈ Bn ; (∀o, o ∈ O)(o E = o E ⇒ o(d) = o (d))}, where B is a structure, O a set of n-ary operations on B, and E ⊆ Bn. We show, that this problem can be reduced to a definability question in certain expansion of B. In particular, if B is a saturated model of Presburger arithmetic, and O is the set of all (saturated) Peano products on B, we prove that, for a ∈ B, iclO ({a}×B) is the smallest possible, i.e. it contains just those pairs (d0, d1) ∈ B2 for which at least one of di equals p(a), for some polynomial p ∈ Q[x]. We show that the presented problematics is closely connected to the descriptive analysis of linear theories. That are theories, models of which are - up to a change of the language - certain discretely ordered modules over specific discretely ordered...