Separation axioms

Abstract

Klasická (bodová) topologie se zabývá body a vztahy mezi nimi a určitými podmnožinami. Když odhlédneme od bodů a uvážíme pouze strukturu otevře- ných množin, získáme tzv. frame neboli úplný svaz splňující distributivní zákon b ∧ A = {b ∧ a | a ∈ A}. Ten je důležitým konceptem bezbodové topologie. Bezbodový přístup (při téměř nepatrné ztrátě informací) nám poskytuje hlubší poznatky o topologii. Příkladem je studium oddělovacích axiomů. Tato práce je zaměřena na Ti-axiomy (pro i = 0, 1, 2, 3, 31 2 , 4), tj. vlastnosti topologických pros- torů zahrnující oddělování bodů od sebe, oddělování bodů od uzavřených množin a oddělování uzavřených množin samotných. V této práci probereme jejich bez- bodové protějšky a způsoby, kterými na sobě závisí. 1

The classical (point-set) topology concerns points and relationships between points and subsets. Omitting points and considering only the structure of open sets leads to the notion of frames, that is, a complete lattice satisfying the dis- tributive law b ∧ A = {b ∧ a | a ∈ A}, the crucial concept of point-free topology. This pointless approach-while losing hardly any information-provides us with deeper insights on topology. One such example is the study of separation axioms. This thesis focuses on the Ti-axioms (for i = 0, 1, 2, 3, 31 2 , 4): properties of topological spaces which regard the separation of points, points from closed sets, and closed sets from one another. In this text we discuss their point-free counterparts and how they relate to each other. 1