Analysis of Krylov subspace methods

Abstract

Název práce: Analýza Krylovovských metod Autor: Tomáš Gergelits Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstrakt: Po odvození metody sdružených gradientů (CG) a krátkém přehledu souvislostí s dalšími oblastmi matematiky se práce zaměřuje na konvergenční chování v přesné aritmetice i v aritmetice s konečnou přesnotí. Podrobně je popsán principiální rozdíl mezi CG a Čebyševovou semi-iterační metodou a je diskutována praktická využitelnost široce rozšířeného lineárního odhadu založe- ného na vlastnostech Čebyševových polynomů. Na příkladu odhadů rychlosti konvergence založených na složených polynomech je ukázána nutnost zahrnutí vlivu zaokrouhlovacích chyb do jakýchkoli úvah o rychlosti konvergence metody CG, které mají být využitelné v praktických výpočtech. Blízkost navzájem si odpovídajících CG aproximací vzniklých ve výpočtech v aritmetice s konečnou přesností a v přesné aritmetice je studována porovnáním jejich trajektorií. Práce je zakončena diskuzí problémů spojených s citlivostí Gauss-Christoffelovy kvadra- tury, jež s metodou CG úzce souvisí. Na poslední dvě témata může být navázáno v další práci. Klíčová slova: Metoda...

Title: Analysis of Krylov subspace methods Author: Tomáš Gergelits Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstract: After the derivation of the Conjugate Gradient method (CG) and the short review of its relationship with other fields of mathematics, this thesis is focused on its convergence behaviour both in exact and finite precision arith- metic. Fundamental difference between the CG and the Chebyshev semi-iterative method is described in detail. Then we investigate the use of the widespread lin- ear convergence bound based on Chebyshev polynomials. Through the example of the composite polynomial convergence bounds it is showed that the effects of rounding errors must be included in any consideration concerning the CG rate of convergence relevant to practical computations. Furthermore, the close corre- spondence between the trajectories of the CG approximations generated in finite precision and exact arithmetic is studied. The thesis is concluded with the discus- sion concerning the sensitivity of the closely related Gauss-Christoffel quadrature. The last two topics may motivate our further research. Keywords: Conjugate Gradient Method, Chebyshev semi-iterative method, fi- nite precision computations, delay of convergence, composite polynomial conver-...