Fraktální dimenze a její odhady

Abstract

Táto bakalárska práca sa zaoberá fraktálnou dimenziou a jej odhadmi. V prvej kapitole poskytujem krátku históriu fraktálnej geometrie a jej základné pojmy. V druhej kapitole sa venujem deterministickému chaosu, jeho základnými pojmami a jeho aplikáciami na dva systémy: logistické zobrazenie a Lorenzov model konvekcie v kvapaline. Tretia kapitola je venovaná kvantifikátorom chaosu, strune som zadefinoval dynamické kvantifikátory, iže Lyapunove exponenty a entropiu a obšírnejšie sa venujem geometrickým kvantifikátorom, iže fraktálnym dimenziám. Definujem rôzne druhy fraktálnych dimenzií, ich rozdiely a výhody a nevýhody z hadiska geometrického ako aj z hadiska numerických odhadov. Štvrtá kapitola sa venuje konkrétne implementácií korelaného algoritmu do programovacieho jazyka a jeho využití pri odhade korelanej dimenzie Lorenzovho a Hénonovho atraktoru. V závere som zhrnul výsledky a porovnal ich s odhadmi iných autorov.

This bachelor's thesis topic is fractal dimension and its estimations. First chapter is dedicated to brief history of fractal geometry and its basic ideas. In second chapter I was developing basic ideas of deterministic chaos and its applications on two different dynamic systems: logistic map and Lorenz's model of convection in atmosphere. Third chapter is dedicated to quantifiers of chaos, such as dynamic quantifiers, Lyapunov exponents and entropy, and geometric quantifiers, which means several fractal dimensions. I defined different types of fractal dimensions, their differencies and its advatages and disadvantages in many ways: geometric and numerical estimations. Fourth chapter is devoted to implementations of correlation algorithm to numerical estimation and it use to estimate correlation dimension of Lorenz's and Hénon's atractor. In the end of this thesis I recapitulated the results and compared it to results of other authors.