Maticové funkce a jejich numerické aproximace

Abstract

V předložené práci studujeme numerické metody pro aproximaci funkce f matice A. Nejprve uvedeme teoretický základ - shrneme možné definice maticových funkcí a jejich vlastnosti. Dále představíme základní numerické metody výpočtu aproximace f(A). V mnoha aplikacích potřebujeme aproximovat maticovou funkci f(A) aplikovanou na předem daný vektor b, tj. f(A)b. Zejména, pokud A je velká a řídká, výpočet aproximace f(A) a následné přenásobení vektorem b může být výpočetně velmi náročné. Proto se v dalších kapitolách zabýváme numerickými metodami, které počítají přímo aproximaci f(A)b. Hlavní důraz je kladen na polynomiální aproximaci ve smyslu nejmenších čtverců a několik modifikací Krylovovských metod. Numerické experimenty ukazují srovnání konvergence a časové náročnosti výpočtu aproximace. 1

In the presented work, we study numerical methods for approximation of a function f of a matrix A. First, we give theoretical background - definitions of matrix functions, and their properties. Further, we summarize basic numerical methods for computation of an approximation of matrix functions f(A). In many applications, we need to approximate the matrix function f(A) applied on an apriory given vector b, i.e. f(A)b. Especially, when A is large and sparse, the computation of approximation to f(A) and subsequent multiplication by the vector b can be computationaly expensive. Therefore we study methods, which compute the approximation of f(A)b directly. Main emphasis is placed on the polynomial approximation in the least squares sense, and several modifications of Krylov subspace methods. Numerical experiments compare convergence and computa- tional time required to obtain reasonable approximation to f(A)b. 1