Sigma-porous sets and the differentiation theory

Abstract

of the dissertation thesis Title: Sigma-porous sets and the differentiation theory Author: Martin Koc Department: Department of mathematical analysis Supervisor: Prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Department of mathematical analysis Abstract: The thesis consists of five research articles. In the first one, it is shown that there exists a closed upper porous (in a strong sense) subset of a nonempty, topolo- gically complete metric space without isolated points that is not σ-lower porous (in a weak sense). In the second article, a new notion of porosity with respect to a measure, that generalizes the upper porosity of a measure, is introduced. Several natural definitions of this notion are investigated. The main result of this chapter is a decomposition theorem for sets that are σ-porous with respect to a measure. The third article deals with sets of points at which arbitrary real functions are Lipschitz from one side and not Lipschitz from another side. A full characterization of the system generated by sets of this type is proved. In the fourth article, several results on relations among metric derived numbers for functions with values in metric spaces are shown. The last chapter deals with existence of differentiable extensions for functions defined on closed subsets of Rn . Its main result...

disertační práce Název práce:: Sigma-pórovité množiny a teorie derivací Autor: Martin Koc Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: Práce sestává z pěti odborných článků. V prvním z nich je ukázáno, že existuje uzavřená shora pórovitá (v silném smyslu) podmnožina neprázdného topologicky úplného metrického prostoru bez izolovaných bodů, která není σ-zdola pórovitá (ve slabém smyslu). Ve druhém článku je zaveden nový pojem pórovitosti vzhle- dem k míře, který zobecňuje horní pórovitost míry. Je zkoumáno několik přiroze- ných definic tohoto pojmu. Hlavním výsledkem této kapitoly je dekompoziční věta pro množiny σ-pórovité vzhledem k míře. Třetí článek se zabývá množinami bodů, v nichž jsou libovolné reálné funkce lipschitzovské z jedné strany a zároveň nejsou lipschitzovské z druhé strany. Je ukázána úplná charakterizace systému generovaného množinami tohoto typu. Ve čtvrtém článku je dokázáno několik výsledků o vztazích mezi metrickými derivovanými čísly funkcí s hodnotami v metrických prostorech. Poslední kapitola se zabývá existencí diferencovatelných rozšíření pro funkce definované...