Lipschitzovská zobrazení diskrétních množin

Abstract

V této práci se zabýváme Feigeho otázkou existence konstantně lipschitzov- ské bijekce každé n2 -prvkové podmnožiny S ⊂ Z2 na pravidelnou mřížku n × n bodů v Z2 . Uvedeme řešení tohoto problému v případě, že body v S jsou uspořá- dány ve tvaru dlouhého obdélníku nebo ve tvaru čtverce bez vnitřku. Hlavní částí práce je rešerše článků Buraga a Kleinera [2] a McMullena [12], zabývajících se problémem existence bilipschitzovsky neekvivalentních separovaných sítí, který je podobný Feigeho problému. Dle těchto článků zkonstruujeme separovanou síť v R2 bilipschitzovsky neekvivalentní Z2 na základě konstrukce kladné omezené měřitelné funkce, která není Jakobiánem žádného bilipschitzovského homeomor- fismu skoro všude. Ukážeme McMullenovu konstrukci takové funkce a doplníme důkaz její správnosti. 1

In this thesis we consider Feige's question of whether there always exists a constantly Lipschitz bijection of an n2 -element set S ⊂ Z2 onto a regular lattice of n × n points in Z2 . We propose a solution of this problem in case the points of the set S form a long rectangle or they are arranged in the shape of a square without a part of its interior points. The main part is a summary of Burago's and Kleiner's article [2] and the article by McMullen [12] dealing with the problem of existence of separated nets in R2 that are not bi-Lipschitz equivalent to the integer lattice. This problem looks similar to Feige's problem. According to these articles we construct a separated net that is not bi-Lipschitz equivalent to the integer lattice, using a positive bounded measurable function that is not the Jacobian of a bi-Lipschitz homeomorphism almost everywhere. We present McMullen's construction of such a function and we complete his proof of its correctness. 1