Petersenovské obarvení a jeho varianty

Abstract

Petersenovské obarvení 3-regulárního grafu G je ekvivalentní tzv. normálnímu obarvení za použití pěti barev. Normální obarvení je dobré hranové obarvení ta- kové, že každá hrana je spolu se svými čtyřmi sousedy obarvena dohromady třemi nebo pěti různými barvami. Podle Jaegerovy hypotézy lze každý 3-regulární graf bez mostů petersenovsky obarvit. Platnost hypotézy by dokázala další zajímavá tvrzení pro 3-regulární grafy. V tomto textu se budeme zabývat normálním obar- vením pro větší počet barev. Z Jaegerovy věty o nenulovém Z2 3 -toku plyne, že každý graf bez mostů lze normálně obarvit sedmi barvami. Zde dokážeme exis- tenci obarvení devíti barvami pro grafy s mostem, s řezem velikosti dva nebo s trojúhelníkem nezávisle na Jaegerově větě. Důkaz využívá myšlenku Andersenova důkazu existence silného hranového obarvení 3-regulárních grafů deseti barvami. V závěru řekneme, jak by mohl jít důkaz dokončit pro zbylé třídy 3-regulárních grafů. 1

The Petersen coloring of 3-regular graph G is equivalent to the normal coloring by five colors. The normal coloring is a good coloring of edges such that every edge and its four neighbours have together three or five different colors. Jaeger conjectures that every bridgeless 3-regular graph has a Petersen coloring. If the conjecture were true, it would imply other interesting statements about 3-regular graphs. In this text we investigate normal coloring by more than five colors. Jaeger theorem about nowhere-zero Z2 3 -flow implies that every bridgeless graph has normal coloring by seven colors. Independently on the Jaeger theorem, we prove the existence of normal coloring by nine colors for graphs with a bridge, a cut of size two or with a triangle. The idea of our proof comes from Andersen's proof of existence of strong coloring by ten colors for 3-regular graphs. Finally, we sketch the idea of the proof for other classes of 3-regular graphs. 1