Gröbnerovy báze

Abstract

V této práci si nejprve připomeneme základní Buchbergerův algoritmus pro výpočet Gröbnerovy báze nad komutativními polynomiálními okruhy. Zabýváme se také jednoznačností Gröbnerovy báze pro daný ideál. Dále zkoumáme méně známý, ale pro některé případy efektivnější Faugèreův F4 algoritmus. V závěru první kapitoly tyto dva algoritmy porovnáme. V druhé kapitole rozebereme zobecnění Buchbergerova algoritmu pro nekomutativní okruhy a to jak pro volné tak pro faktorové algebry. Na rozdíl od komu- tativního případu zde mohou mít i konečně generované ideály nekonečné Gröbnerovy báze. Mimo jiné zde zkoumáme tzv. kvazi-nuly, tj. prvky, ze kte- rých přenásobením libovolným termem vznikne nula, a jejich roli při redukci polynomu množinou. 1

In this thesis we remind you of the basic Buchberger algorithm for com- puting the Gröbner base over commutative polynomial rings. We also observe uniqueness of the Gröbner base for the ideal. Next we research less known, but more effective (for some instances) Faugère F4 algorithm. At the end of the first chapter we compare these two algorithms. In the second chapter we analyze a generalization of the Buchberger algorithm for noncommutative rings both for free algebra and factor algebra. On the contary to the commu- tative case, Gröbner bases can be infinite in this case, even for some finitely generated ideals. Among other things, we investigate quasi-zero elements,i.e. such elements, that we get zero by multiplying them with an arbitrary term, and their role in the division of a polynom by set of polynoms. 1