Konvexita v úlohách s pravděpodobnostními omezeními

Abstract

1 Abstrakt: Táto práca sa zameriava na úlohy stochastického programova- nia s pravdepodobnostnými obmedzeniami. Uvažujeme niekoľko modelov s pravdepodobnostnými obmedzeniami a zameriavame sa na ich vlastnosť kon- vexity. Práca predkladá teóriu α-konkávnych funkcií a mier ako základný ná- stroj na vyšetrovanie konvexity úloh. Dôsledky teórie aplikujeme na praktické vyšetrovanie konvexity prezentovaných modelov najprv pre spojité rozdele- nia náhodných vektorov v daných úlohách, potom pre diskrétne. U spojitých rozdelení charakterizujeme veľkú triedu rozdelení, ktoré spĺňajú postačujúce podmienky pre konvexitu daných modelov a potom prezentujeme riešiace al- goritmy pre tieto modely. U diskrétnych rozdelení taktiež predložíme posta- čujúce podmienky pre konvexitu úlohy. Ukážeme tiež metódy, ktoré sa vedia vysporiadať s nekonvexnosťou úlohy a v krátkosti sa venujeme problémom, ktoré môžu vzniknúť použitím týchto metód.

1 Abstract: This thesis deals with chance constrained stochastic programming problems. We consider several chance constrained models and we focus on their convexity property. The thesis presents the theory of α-concave functions and measures as a basic tool for proving the convexity of the problems. We use the results of the theory to prove the convexity of the models first for the continu- ous distributions, then for the discrete distributions of the random vectors. We characterize a large class of the continuous distributions, that satisfy the suffi- cient conditions for the convexity of the given models and we present solving algorithms for these models. We present sufficient conditions for the convexity of the problems with dicrete distributions, too. We also deal with the algorithms for solving non-convex problems and briefly discuss the difficulties that can occur when using these methods.