Kritéria regularity pro nestacionární nestlačitelné Navier-Stokesovy rovnice

Abstract

Název práce: Kritéria regularity pro nestacionární nestlačitelné Navier-Stokesovy rovnice Autor: Šimon Axmann Ústav: Matematický ústav Univerzity Karlovy Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., Matematický ústav Univerzity Karlovy Abstrakt: V předložené práci studujeme globální podmíněnou regularitu slabých řešení Cauchyho úlohy pro nestacionární nestlačitelné Navier-Stokesovy rovnice ve třech prostorových dimenzích. V první části podáváme přehled známých pod- mínek implikujících plnou regularitu uvažovaných rovnic. Z důvodu přehlednosti uvádíme pouze kritéria regularity na škále Lebesgueových prostorů, a to zejmé- na podmínky pro rychlost a její složky, pro gradient rychlosti a jeho složky, pro tlak a vířivost. V následující částech dokazujeme pomocí dvou odlišných tech- nik zobecnění čtyř kritérií regularity. Oproti známým výsledků uvažujících jednu složku rychlosti, resp. její gradient uvažujeme projekci rychlosti do obecného vek- torového pole. Pro použití druhé metody jsme rovněž zobecnili multliplikativní Gagliardo-Nirenbergovu nerovnost.

Title: Regularity criteria for instationary incompressible Navier-Stokes equations Author: Šimon Axmann Institute: Mathematical Institute of Charles University Supervisor: doc. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., Mathematical Institute of Charles University Abstract: In the present thesis we study the global conditional regularity of weak solutions to the Cauchy problem for instationary incompressible Navier-Stokes equations in three space dimensions. In the first section, we present an overview of known conditions implying the full regularity of the equations under conside- ration. For the sake of clarity, we expose only the regularity criteria on the scale of Lebesgue spaces, especially in terms of the velocity and its components, the gradient of the velocity and its components, the pressure and the vorticity. In the subsequent sections, we generalize four regularity criteria using two different techniques. We are able to replace one velocity component or its gradient, consi- dered in the known results, by a projection of the velocity into a general vector field. For the purpose of the second method, we also generalize the multiplicative Gagliardo-Nirenberg inequality.