Grid representations of graphs and the chromatic number

Abstract

Mřížková nakreslení grafů a chromatické číslo Martin Balko 1. srpna 2012 Katedra (ústav): Katedra aplikované matematiky Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Pavel Valtr Dr. e-mail vedoucího: valtr@kam.mff.cuni.cz Abstrakt V předložené práci se zabýváme mřížkovými nakresleními grafů a jejich souvislostmi s grafovými obarveními. Mřížkové nakreslení grafu zobrazuje vrcholy na body mřížky Zd a hrany na úsečky, které se vyhýbají bodům odpovídajícím nekoncovým vrcholům. Nejdříve dokážeme, že graf je qd - obarvitelný, d, q ≥ 2, právě tehdy, když má mřížkové nakreslení, ve kterém každá úsečka protíná nanejvýš q mřížkových bodů. Poté se věnujeme mřížkovým nakreslením s omezeným počtem sloupců, kde představíme nové NP-úplné úlohy a rozšíříme některé známé výsledky. Také ukážeme ostrý dolní odhad na plochu mřížkového nakreslení pro úplné vyvážené k-partitní grafy, čímž dokážeme domněnku D. R. Wooda. Nakonec pro libovolný rovinný graf nalezneme rovinné mřížkové nakreslení, kde každá úsečka obsahuje pouze dva mřížkové body. Tím potvrdíme domněnky od autorů D. Flores Pe˝nalozy a F. J. Zaragoza Martineze. Klíčová slova: mřížková nakreslení, mřížka, chromatické číslo, rovina

Grid Representations and the Chromatic Number Martin Balko August 2, 2012 Department: Department of Applied Mathematics Supervisor: doc. RNDr. Pavel Valtr Dr. Supervisor's email address: valtr@kam.mff.cuni.cz Abstract In the thesis we study grid drawings of graphs and their connections with graph colorings. A grid drawing of a graph maps vertices to distinct points of the grid Zd and edges to line segments that avoid grid points representing other vertices. We show that a graph G is qd -colorable, d, q ≥ 2, if and only if there is a grid drawing of G in Zd in which no line segment intersects more than q grid points. Second, we study grid drawings with bounded number of columns, introducing some new NP- complete problems. We also show a sharp lower bound on the area of plane grid drawings of balanced complete k-partite graphs, proving a conjecture of David R. Wood. Finally, we show that any planar graph has a planar grid drawing where every line segment contains exactly two grid points. This result proves conjectures of D. Flores Pe˝naloza and F. J. Zaragoza Martinez. Keywords: graph representations, grid, chromatic number, plane