Sobolevova věta o vnoření na oblastech s nelipschitzovskou hranicí

Abstract

V práci studujeme Sobolevovu větu o vnoření. Pro oblast s lipschit- zovskou hranicí platí f ∈ W1,p ⇒ f ∈ Lp∗ (p) , kde p∗ (p) = np n − p . Funkce p∗ (p) je jako funkce proměnné p spojitá a diferencovatelná. V práci je zkonstruován příklad oblasti, pro kterou je nejlepší funkce vnoření p∗ (p) dokonce nespojitá. V první části se podle náznaku z článku [1] zkonstruuje množina s narušením spojitosti v bodě p = n = 2 a důkaz vztahu je proveden vlastními, jednoduššími metodami. Nakonec představíme ideu, jakou lze tento příklad zo- becnit k nalezení oblasti s bodem nespojitosti mimo bod p = n = 2.

We study the Sobolev embeddings theorem and formulate modified theorems on domains with nonlipschitz boundary. The Sobolev embeddings the- orem on a domain with Lipschitz boundary claims f ∈ W1,p ⇒ f ∈ Lp∗ (p) , kde p∗ (p) = np n − p . The function p∗ (p) is continuous and even smooth. We construct a domain with nonlipschitz boundary and function of the optimal embedding i.e. analogy of p∗ (p) is not continous. In the first part, according to [1], we construct the domain with the point of discontinuity for p = n = 2. Though we used known construction of domain, we prove this by using more simple and elegant methods. In the second part of thesis we suggest the way how to generalize this model domain and shift the point of discontinuity to other point than p = n = 2.