Husté množiny v součinech topologických prostorů

Abstract

Podmnožina součinu je tenká, pokud se každé její dva různé body liší alespoň ve dvou složkách. Podmnožina součinu je velmi tenká, pokud se každé její dva různé body liší ve všech složkách. Práce shrnuje základní vlastnosti tenkých a velmi tenkých hustých množin v součinech topologických prostorů. Podává postačující a nutné podmínky jejich existence a obsahuje několik příkladů. Hlavním výsledkem práce je konstrukce ukazující, že za hypotézy kontinua pro každé přirozené n ≥ 1 existuje spočetný T3 prostor X bez izolovaných bodů takový, že Xn obsahuje n-tenkou hustou množinu, ale Xm , n < m < 2n, nikoliv. Navíc, Xm , n < m < ω, neobsahuje (n + 1)-tenkou množinu. Slabší podoba věty je dokázána za Martinova axiomu.

A subset of a product space is thin if every two its distinct points are distinct in at least two coordinates. A subset of a product space is very thin if every two its distinct points are distinct in all coordinates. The thesis sum- marizes the basic properties of thin-type dense sets in products of topological spaces. Sufficient and necessary conditions of their existence are given and several examples are shown. The main result of the thesis is a construction showing that under the continuum hypothesis, for every natural n ≥ 1, there exists a countable T3 dense-in-itself space X such that Xn contains an n-thin dense subset, but Xm , n < m < 2n, doesn't. Besides, Xm , n < m < ω, does not contain any (n + 1)-thin dense subset. A weaker form of the theorem is proven under Martin's axiom.