Magická čísla v metrických prostorech

Abstract

Hlavním tématem této práce je Grossova věta a její zobecnění - Stadjeho věta. Podle Grossovy věty existuje pro každý kompaktní souvislý metrický prostor (X, d) jednoznačně určené magické číslo a(X, d) takové, že pro každou konečnou množinu K ⊂ X existuje bod y ∈ X mající od K průměrnou vzdálenost a(X, d). Stadjeho věta namísto metriky d uvažuje libovolnou reálnou spojitou symetrickou funkci f na X×X. V práci dokazujeme jak existenci, tak jednoznačnost magického čísla pro Stadjeho větu. Dále jsou uvedeny příklady magických čísel pro některé konkrétní metrické prostory. Rovněž se zabýváme rozsahem hodnot, kterých může magické číslo nabývat, jsou-li dána určitá omezení na funkci f nebo na prostor X. 1

The main topic of this work is the Gross Theorem and its generalization - the Stadje Theorem. According to the Gross Theorem, for every compact connected metric space (X, d) there exists a unique magic number a(X, d) with the following property: For every finite set K ⊂ X there exists a point y ∈ X such that the average distance from y to K is a(X, d). The Stadje Theorem takes any real-valued continuous symmetric function f on X × X instead of a metric d. In this work we give a proof both of the existence and the uniqueness of the magic number from the Stadje Theorem. Examples of magic numbers in some particular metric spaces are presented. We also study the range of values which can a magic number attain, given some restrictions on the function f or on the space X. 1