Modern Asymptotic Perspectives on Errors-in-variables Modeling

Abstract

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta ABSTRAKT DISERTAČNÍ PRÁCE Michal Pešta MODERNÍ ASYMPTOTICKÉ PERSPEKTIVY PRO MODELOV ÁNÍ CHYB V POZOROV ÁNÍCH Uvažujeme lineární regresní model, kde kovariáty a odezva jsou měřeny s chybou. Pro takzvaný mo- del s chybami v měřeních (EIV) jsou navrženy vhodné struktury chyb, přědvedeny jsou různé techniky odhadování neznámých parametrů a zhrnuty jsou aktuální algebraické a statistické výsledky. Vynalezli jsme zobecnění odhadu založeného na úplně nejmenších čtvercích (TLS) v EIV modelu, tzv. EIV odhad. Odvozeny jsou jeho invariance (vzhledem k měřítku) a ekvivariance (vzhledem k rotaci kovariát, ke změne orientaci kovariát a k záměně kovariát). Navíc jsme ukázali, že EIV odhad je unitárně invariantní řešení EIV optimalizačního problému. Demonstrujeme, že asymptotická normalita EIV odhadu je z výpočetního hlediska nevhodná pro kon- strukci intervalu spolehlivosti nebo pro testování hypotéz. Je zkonstruována správná bootstrapová pro- cedura, aby překonala takový problém. Je dokázána její validita. Simulační studie a příklad s reálnýma daty potvrzují její vhodnost. Předpokládáme, že chyby tvoří slabý nebo stejnoměrně slabý mixing a tedy už nejsou...

Charles University in Prague Faculty of Mathematics and Physics ABSTRACT OF DOCTORAL THESIS Michal Pešta MODERN ASYMPTOTIC PERSPECTIVES ON ERRORS-IN-VARIABLES MODELING A linear regression model, where covariates and a response are subject to errors, is considered in this thesis. For so-called errors-in-variables (EIV) model, suitable error structures are proposed, various unknown parameter estimation techniques are performed, and recent algebraic and statistical results are summarized. An extension of the total least squares (TLS) estimate in the EIV model-the EIV estimate-is in- vented. Its invariant (with respect to scale) and equivariant (with respect to the covariates' rotation, to the change of covariates direction, and to the interchange of covariates) properties are derived. Moreover, it is shown that the EIV estimate coincides with any unitarily invariant penalizing solution to the EIV problem. It is demonstrated that the asymptotic normality of the EIV estimate is computationally useless for a construction of confidence intervals or hypothesis testing. A proper bootstrap procedure is constructed to overcome such an issue. The validity of the bootstrap technique is proved. A simulation study and a real data example assure of its appropriateness. Strong and uniformly strong mixing errors are taken...