Spatio-temporal point processes

Abstract

The background theory of point processes, spatio-temporal point processes, random measures and random closed sets is given in the beginning of the thesis. Then the special case of spatio-temporal Cox processes constructed from L'evy basis is studied. Formulas for theoretical characteristics are derived using the generating functional. The Cox process on the curve is defined and studied. The analysis of such a process leads to nonlinear filtering methods. Also the methods for model selection are discussed. These methods are used on simulated data, firstly on the simple discrete data and secondly on the continuous data where the curve is a spiral. Then the real data from a neurophysiology experiment is analysed. During the experiment, the spiking activity of a place cell of hippocampus of a rat moving in an arena together with the track of the rat was recorded. The track of the rat and the action potentials (spikes) present the curve and the points on it. At the end of the thesis, other approaches to neurophysiological data are discussed. The first one is an estimation of a conditional intensity of the temporal process of spikes using recursive filtering. In the second one, the track of the rat together with the random driving intensity function of the process of the spikes is viewed as a random marked set.

Na začátku práce je přehled základní teorie bodových procesů, časoprostorových bodových procesů, náhodných měr a náhodných uzavřených množin. Dále jsou studovány časoprostorové Coxovy procesy, které jsou konstruovány pomocí Lévyho bází. Za použití vytvořujícího funkcionálu jsou odvozeny základní chrakteristiky. Je definován a studován Coxův proces na křivce. Analýza takovýchto procesů vede k nelineárním filtrovacím metodám. Jsou diskutovány také metody umožňující výběr modelu. Tyto metody jsou použity na simulovaných datech, nejdříve na jednoduchém disktrétním případě a pak i na spojitém případě se spirálovitou křivkou. Poté je provedena analýza neurofyziologických dat. V průběhu experimentu byla zaznamenávána aktivita neurových buněk z hippocampu u krysy hledající jídlo v omezeném prostoru zároveň s polohou zvířete. Trasa zvířete a akční potenciály (spiky) představují křivku a body na ní. Na konci práce jsou další možné přístupy k neurofyziologickým datům. První je odhad podmíněné intensity časového procesu spiků pomocí rekurzivního filtrování. Ve druhém případě je na trasu krysy spolu s náhodnou řídící funkcí intenzity procesu spiků nahlíženo jako na náhodnou uzavřřenou kótovanou množinu.