Set-theoretic Methods in the Theory of Modules

Abstract

The thesis collects my actual contributions to the theory of cotorsion pairs, with closer attention paid to the application of set-theoretic methods in this area. It consists of an introduction and three papers with coauthors. The first two, already published, deal with the so-called Telescope Conjecture for Module Categories. We prove here, for instance, that a hereditary cotorsion pair (A, B) with the class B closed under direct limits is generated by a set of countably presented modules. Moreover, if the class A is closed under direct limits too, then the pair (A, B) is cogenerated by a set of indecomposable pure-injective modules. In the third paper, we deal with the cotorsion pairs which provide us with non-trivial examples of abstract elementary classes (in the sense of Shelah). Then we study the class D of all 1-projective modules, proving e.g. that-regardless of the ring-it always forms a Kaplansky class.

Disertační práce shrnuje mé dosvadní příspěvky k teorii kotorzních párů modulů, s užším zaměřením na aplikaci množinově-teoretických metod v této oblasti. Sestává z úvodu a tří článků se spoluautory. První dva - již publikované - se věnují tzv. teleskopické hypotéze pro kategorie modulů. Dokazujeme zde například, že dědičný kotorzní pár (A,B) s třídou B uzavřenou na direktní limity je již úplný a generovaný množinou spočetně prezentovaných modulů. Je-li navíc i třída A uzavřena na direktní limity, je (A,B) kogenerován množinou nerozložitelných čistě-injektivních modulů. Ve třetím článku se blíže zabýváme jednak kotorzními páry, jež poskytují netriviální příklady abstrakních elementárních tříd (v Shelahově smyslu), a dále zkoumáme třídu D a všech N1-prjektních modulů, přičemž kupříkladu ukazujeme, že se - nezávisle na okruhu - jedná vždy o Kaplanského třídu.