Jednorozměrné difusní stochastické diferenciální rovnice s aplikacemi ve finanční matematice

Abstract

Předmětem této práce je využití pokročilých metod teorie pravděpodobnosti a částečně i matematické analýzy na určité partie finanční matematiky. V první kapitole jsou shrnuty potřebné poznatky z teorie pravděpodobnosti. V druhé kapitole jsou postupně zmíněny základy teorie jednorozměrných difusních stochastických diferenciálních rovnic. Jsou zformulovány potřebné výsledky ohledně existence a jednoznačnosti řešení i ve slabém smyslu, je zkonstruováno řešení Engelbertovy - Schmidtovy rovnice a je důkladně zkoumán Fellerův test exploze. Třetí kapitola se zabývá Dirichletovým problémem a jeho aplikací na oceňování finančních opcí včetně implementace. Poslední, čtvrtá, kapitola je určena využití znalostí z předchozích částí textu k odvození některých zajímavých vlastností Coxova - Ingersollova - Rossova modelu.

In this thesis, the aim is to employ some of the advanced probability and calculus techniques to financial mathematics. In the first chapter some major facts from continuous - time probability theory are presented. In the second chapter, one - dimensional stochastic diferential equations are introduced, we touch upon the questions of existence and uniqueness of solutions in full generality, construct a weak solution to the Engelbert - Schmidt equation and thoroughly present a known procedure called a Feller's test for explosions. In chapter three, focus is directed to a brief presentation of the well known Dirichlet problem. The problem is also interpreted financially, applied to options valuation and related approximations are implemented. The fourth, final, chapter concentrates on the Cox - Ingersoll - Ross model. Techniques derived in the second and third chapters are employed to thoroughly study the model properties.