New Integral Formulae in Hypercomplex Analysis

Abstract

Title: New Integral Formulae in Hypercomplex Analysis Author: Mgr. Martin Sikora Department: Mathematical Institute of Charles University Supervisor: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc., MÚ UK Supervisor's e-mail address: soucek@karlin.mff.cuni.cz Abstract: The Dirac equation for Clifford algebra-valued functions on the even-dimensional Minkowski space can be understood as a hyperbolic sys- tem of partial differential equations. We show how to reconstruct the solution from initial data given on the upper sheet of the hyperboloid. In particular, we derive an integral formula which expresses the value of a function in a chosen point as an integral over a compact cycle given by the intersection of the null cone with the upper sheet of the hyperboloid in the Minkowski space. We also treat the ultra-hyperbolic case where the Dirac equation gives the ultra-hyperbolic system of partial differential equations. An analogue of the second order Cauchy formula is proved for (n − 1)-vector-valued holo- morphic functions. It reconstructs values inside a bounded domain in the 2n-dimensional complex space by integrating over the characteristic boun- dary of the domain. 1

Název práce: Nové integrální formule v hyperkomplexní analýze Autor: Mgr. Martin Sikora Katedra (ústav): Matematický ústav Univerzity Karlovy Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc., MÚ UK e-mail vedoucího: soucek@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: Diracova rovnice pro funkce s hodnotami v Cliffordově algebře na Minkowského prostoru sudé dimenze může být chápána jako hyperbolický systém parciálních diferenciálních rovnic. Ukážeme jak zrekonstruovat řešení z počátečních dat zadaných na horním listu hyperboloidu. Odvodíme inte- grální formuli, která vyjadřuje hodnotu funkce ve zvoleném bodě jako integrál přes kompaktní cykl zadaný průnikem nulového kužele s horním listem hyper- boloidu v Minkowského prostoru. Zajímáme se taktéž o ultra-hyperbolický případ, kdy Diracova rovnice dává ultra-hyperbolický systém parciálních diferenciálních rovnic. Dokážeme rovněž obdobu Cauchyovy formule druhého řádu pro holomorfní funkce s hodnotami v (n−1)-vektorech. Tato formule re- produkuje hodnoty funkce uvnitř omezené oblasti v 2n-dimenzionálním kom- plexním prostoru prostřednictvím integrace přes charakteristickou hranici této oblasti. Klíčová slova: Diracova rovnice, Cliffordova algebra, integrální formule, charakteristická hranice, Minkowského prostor, ultra-hyperbolický prostor 1