Algebraické aspekty fuzzy logiky

Abstract

V této práci studujeme filtry na algebrách fuzzy logik jejich možná využití. Zobecňujeme pojmy implikativního/pozitivního implikativního/ fantastického filtru na BL-algebrách zavedením pojmu R-S-filtru na algebrách implikativních logik. Zformulujeme a dokážeme některé vlastnosti R-S-filtrů a následně ukážeme souvislost charakterizace R-S-filtru s alternativní axiomatizací dané logiky. Dále popíšeme způsoby, jak lze pomocí R-S-filtrů ekvivalentně charakterizovat konkrétní algebry implikativních logik. Ukážeme, že výsledky publikované v článcích [1] a [3] jsou jednoduché důsledky těchto zobecnění. Dalším tématem této práce jsou uniformní prostory a uniformní topologie nad algebrami implikativních logik. Zde filtry slouží k vytvoření tzv. Leibnitzovských kongruencí. Množina těchto kongruencí na dané algebře je (sub)bází uniformity, kterou následně zkoumáme. V této části ukazujeme, že výsledky uvedené v článcích [2] a [4] se dají snadno zobecnit pro libovolné implikativní logiky.

In this thesis we study filters on algebras of fuzzy logics and their possible applications. We are going to generalize the notion of an implicative/ positive implicative/fantastic filter on BL-algebras by introducing a notion of R-S-filter. We state and prove some properties of R-S-filters and then we show the connection between characterization of R-S-filter and alternative axiomatization of a given logic. We are going to describe the way how to characterize given algebra of implicative logic via R-S-filters. We show that the results published in [1] and [3] are simple consequences of our theory. Next topics of this work are uniform spaces and uniform topologies. Filters are there used to set up so-called Leibnitz congruences. A set of this congruences on the algebra is a (sub)base of a uniformity that we are going to study. We are going to show that results published in [2] and [4] can be easily generalized for any implicative logics.