Kvadraturní a kubaturní formule pro funkce s vysokou oscilací

Abstract

V předložené práci studujeme metody aproximující hodnotu určitého integrálu funkcí s vysokou oscilací. Využíváme v praxi obvyklého tvaru zkoumaných funkcí, vyskytující se například u Fourierovových řad a Fourierova integrálu, kde je integrována funkce součinem rychle oscilující a obecně neoscilující funkce. Přirozenou cestou je aprosimace neoscilující funkce tak, abychom dostali součin funkcí, jež je snadno analyticky integrovatelný. Typickou volbou jsou funkce, které jsou spojité a po částech polynomiální. Dále je možné aplikovat Möbiův inverzní vzorec na Poissonovu sumační formuli. Zmiňujeme metody využívající teorii ortogonálních polynomů. Pro dvojný integrál s jedním nedegenerovaným stacionárním bodem využíváme asymptotického rozvoje.

In the present work we study aproximation methods for values of integrals with strongly oscillating integrand. It's typical that the integrand can be split into two factors such that one is a rapidly oscillating function and the other is a smooth function - typical examples are Fourier series and Fourier integral. A usual way is aproximation of a smooth function to get product, which is simply integrable. A common choice is to aproximate smooth function instead of the whole integrand by aid of polynomials. It is possible to apply Möbius inversion technique which is applied to the Poisson summation formula. We describe methods which use orthogonal polynoms. For computing of bivariate integrals with a nondegenerate stationary point we produce an asymptotic expansion.