Models of bounded arithmetic

Abstract

Studujeme otázky nezávislosti v relativizované omezené aritmetice, se zaměřením na rozšíření teorie T1 2 (α). Nejprve ukazujeme, že princip minimalizace pro lineární uspořá- dání ◁ není dokazatelný v T1 2 (◁) ani tehdy, když tuto teorii rozšíříme o všechny polynomi- ální instance principu holubníku s orákulem ◁. Dále studujeme teorii vzniklou přidáním schématu minimalizace pro polynomiálně definovatelná lineární uspořádání k T1 2 (α). V tomto kontextu formulujeme nový výpočetní princip, faktorizační hypotézu, a ukazujeme, že za předpokladu této hypotézy výsledná teorie nedokazuje turnajový princip. Nakonec, ve společné práci s Eitetsu Kenem, zavádíme oblázkové hry se zpětným prohledáváním jako herně-teoretický rámec pro analýzu důkazů v T2 2 (R), s cílem přiblížit se přístupu k Ajtaiovským dolním odhadům bez použití přepínacího lemmatu.

We study independence questions in relativized bounded arithmetic, with a focus on extensions of T1 2 (α). We first show that the minimization principle for a linear order ◁ is not provable in T1 2 (◁) even when the theory is augmented by all ◁-oracle polynomial-time instances of the pigeonhole principle. We then study the theory obtained by adding the minimization scheme for polynomial-time definable linear orders to T1 2 (α). In this context, we isolate a new computational statement, the Factorization Hypothesis, and show that, assuming this hypothesis, the resulting theory does not prove the tournament principle. Finally, in joint work with Eitetsu Ken, we introduce pebble games with backtracking as a game-theoretic framework for analyzing proofs in T2 2 (R), aiming toward a switching- lemma-free approach to Ajtai lower bounds.