Localization phenomenon in the time-ordered exponential with application to quantum chemistry

Abstract

Časově uspořádaná exponenciála popisuje řešení neautonomních lineárních soustav ODR a~uplatňuje se v~řadě oblastí od teorie řízení po kvantovou mechaniku. Pokud je matice soustavy pásová, hodnoty řešení klesají se vzdáleností od diagonály. Práce se věnuje třem přístupům, jak tento pokles odhadnout. První vychází z~kombinatorických odhadů známých z~literatury. Druhý využívá klasické odhady poklesu pro funkce konstantních pásových matic a~aplikuje je na Legendreův rozvoj řešení. Třetí přístup, který je hlavním přínosem práce, formuluje hypotézu v~duchu Crouzeixova odhadu a~odvozuje z~ní explicitní exponenciální odhad poklesu. Numerické experimenty ukazují, že právě tento poslední přístup nejlépe odpovídá skutečnému chování řešení, a~to i~v~případě zobecněného Rosenova--Zenerova modelu z~kvantové mechaniky. Klíčovým otevřeným problémem zůstává důkaz uvedené hypotézy, který by mohl využít strukturu C*-algebry na prostoru distribucí a~současně by vedl k~rigorózním odhadům chyby Legendreovy aproximace.

The time-ordered exponential is the solution operator of non-autonomous linear ODE systems and arises naturally in applications ranging from control theory to quantum mechanics. When the system matrix is banded, the solution exhibits off-diagonal decay: entries far from the diagonal remain small. This thesis develops and compares three approaches to bounding this decay. The first relies on path-sum estimates from the literature. The second applies classical decay bounds for functions of constant banded matrices to the Legendre polynomial expansion of the solution. The third, which is the main contribution, formulates a conjectural analogue of the Crouzeix bound that yields an explicit exponential decay estimate. Numerical experiments confirm that this last approach accurately captures the observed decay across all tested examples, including a generalized Rosen--Zener model from quantum mechanics. The central open problem is to prove the conjecture by establishing a C*-algebra structure on the underlying distribution space, which would also yield rigorous error bounds for the Legendre approximation.