Jacobi signature

Abstract

This thesis complements and clarifies the argumentation of Corrigan-Gibbs and Wu, reconstructing their proofs in detail and filling in the necessary theory. It also fills a gap in the original work by analyzing zeros in the Jacobi signature's output. We show that a zero reveals nontrivial factors of N, and that this event is negligible when the signature length is small relative to the bit-length of N. We also present an algorithm for computing the Jacobi symbol, and we explain why the constant k in Conjecture 2 must satisfy k ∈ (2, 3).

V tejto práci doplňujeme a upresňujeme argumenty Corrigan-Gibbsa a Wua tak, že podrobnejšie dokážeme ich jednotlivé tvrdenia a doplníme teóriu, ktorá sa v ich práci nenachádza. Zároveň doplníme prácu tým, že budeme analyzovať nuly vo výstupe Jaco- biho podpisu. Potom ukážeme, že výskyt nuly odhaľuje netriviálne delitele čísla N, a že výskyt núl je zanedbateľný, ak je dĺžka podpisu malá v porovnaní s bitovou dĺžkou čísla N. Ďalej ukážeme algoritmus na výpočet Jacobiho symbolu a vysvetlíme, prečo konštanta k v Domnienke 2 musí spĺňať k ∈ (2, 3).