Symetrie fázového prostoru: aplikace na křivém pozadí

Abstract

In this thesis, we will attempt to summarize the knowledge of symmetries, both on general manifolds and, more specifically, in general relativity. We will define important objects like Killing vectors, Killing tensors and Killing-Yano forms, some of their prop- erties, and provide examples. These structures have a great connection to integrals of motion, which lead to the integrability of dynamical problems. While Killing vectors reveal symmetries in the configuration space, Killing tensors and Killing-Yano forms lead to the existence of hidden symmetries in the phase spaces. Building on a recent work focused on lifting of symmetries into higher dimensions, we will present examples of how irreducible second-order Killing tensors can arise in higher dimensional spaces. We will also show for the first time that, in the case of highly symmetric spaces, this principle can lead to the emergence of irreducible fourth-order Killing tensor.

V této práci se pokusíme shrnout známé poznatky o symetriích jak na obecných varie- tách tak konkrétně v obecné teorii relativity. Podíváme se na definice důležitých objektů, jako jsou Killingovy vektory, Killingovy tenzory a Killing-Yanovy formy, některé z jejich vlastností a uvedeme příklady. Tyto objekty mají velkou spojitost s integrály pohybu, které vedou k integrabilitě dynamických problémů. Zatímco Killingovy vektory ukazují symetrie konfiguračního prostoru, Killingovy tenzory a Killingovy-Yanovy formy vedou k existenci skrytých symetrií na fázových prostorech. Navážeme na nedávnou práci, která se věnuje liftování symetrií do vyšších dimenzí, a uvedeme příklady, jak při přechodu do ví- cedimenzionálních prostorů mohou vznikat ireducibilní Killingovy tenzory druhého řádu. Poprvé také ukážeme, že pro případ vysoce symetrických prostorů může tento princip vést ke vzniku ireducibilního Killingova tenzoru čtvrtého řádu.V této práci se pokusíme shrnout známé poznatky o symetriích jak na obecných varietách z pohledu diferenciální geometrie tak konkrétně v obecné teorii relativity. Podíváme se na definice výše zmí- něných objektů, některé z jejich vlastností a uvedeme příklady. Motivací studia těchto struktur je jejich spojitost s integrály pohybu, které vedou k integrabilitě dynamických problémů. Mezitím co...