Restricted Homological Dimensions and Cohen-Macaulay Rings

Abstract

The class of Cohen-Macaulay rings, which contains both the regular and the Goren- stein rings is arguably the most important class in commutative algebra, being both general enough to allow interesting behaviour while also being sufficiently strict. It is therefore useful to have concrete criteria for recognizing when a ring is Cohen-Macaulay. After briefly developing the theory of dimension, depth, and Cohen-Macaulay rings, we introduce the finitistic dimensions of a ring, a direct extension of the classical homological dimensions, and use them to characterize the Cohen-Macaulay property. We then extend this to modules via the restricted flat dimension, which we show refines the classical flat dimension, and prove the Ultimate Auslander-Buchsbaum formula, generalizing the classical one. Finally, we use the restricted flat dimension to give a characterization of Cohen-Macaulay rings.

Třída Cohen-Macaulayovských okruhů, která zahrnuje regulární i Gorensteinovské okruhy, je patrně nejdůležitější třídou v komutativní algebře, neboť je dostatečně obecná na to, aby umožňovala zajímavé chování, a zároveň je dostatečně striktní. Je proto užitečné mít k dispozici konkrétní kritéria pro rozpoznání, kdy je daný okruh Cohen- Macaulayovský. Po stručném úvodu do teorie dimenze, hloubky a Cohen-Macaulayovských okruhů zavedeme finitistické dimenze okruhu, což jsou přímá rozšíření klasických homolo- gických dimenzí, a využíváme je k charakterizaci Cohen-Macaulayovské vlastnosti. Tento přístup následně rozšiříme na moduly prostřednictvím restringované ploché dimenze, o níž ukážeme, že zjemňuje klasickou plochou dimenzi. Dále dokážeme ultimátní Auslanderovu- Buchsbaumovu formuli, čímž zobecníme tu klasickou. Nakonec restringovanou plochou dimenzi využijeme k charakterizaci Cohenových-Macaulayovských okruhů.