Noetherian group rings

Abstract

This thesis studies Baer's Noetherian conjecture for group rings. Hall's theorem shows that the group ring of a virtually polycyclic group over a right noetherian ring is right noetherian. The converse is open in generality. We prove the converse for locally indicable groups of finite cohomological dimension over arbitrary nonzero unital rings. The proof replaces the usual dimension-drop theorem by a direct homological argument. Under the required finiteness assumptions, this argument shows that passing from the kernel to the whole group increases the projective dimension by one. Iterating this equality along epimorphisms to the infinite cyclic group shows that, if the group is locally indicable, its group ring is right noetherian, and its cohomological dimension is finite, then the group is polycyclic.

Práce se věnuje Baerově noetherovské domněnce pro grupové okruhy. Hallova věta říká, že grupový okruh virtuálně polycyklické grupy nad zprava noetherovským okru- hem je zprava noetherovský. Obrácená implikace je v plné obecnosti doposud otevřeným problémem. Tato práce nabízí zmíněnou implikaci pro lokálně indicable grupy konečné ko- homologické dimenze nad libovolnými nenulovými okruhy s jednotkou. Důkaz nahrazuje obvyklou větu o poklesu dimenze přímým homologickým argumentem. Za příslušných předpokladů konečné dimenze tento argument ukazuje, že přechod od jádra k celé grupě zvýší projektivní dimenzi o jedna. Iterací této rovnosti po epimorfismech na nekonečnou cyklickou grupu dostáváme, že pokud je grupa lokálně indicable, její grupový okruh je zprava noetherovský a její kohomologická dimenze je konečná, pak je tato grupa poly- cyklická.