Regularity of domains in the Euclidean space

Abstract

The geometry of a domain in the ambient Euclidean space plays a key role in de- termining the domain's viability for supporting continuous and compact embeddings of Sobolev spaces into other desirable function spaces. In the thesis, various regularity cri- teria on Euclidean domains are studied, and the relations between them demonstrated. Detailed proofs are provided for those sufficient and necessary conditions which are known to hold, and counterexamples illustrate those that do not. Alongside these, a sufficient condition not mentioned in available literature is proven as well. An introduction to the isoperimetric profile of a domain and its basic properties then follows, with emphasis placed on the construction of Maz'ya classes of domains as its chief application.

Geometrie oblasti v eukleidovském prostoru má klíčový význam pro existenci spojitých či kompaktních vnoření Sobolevových prostorů funkcí na ní definovaných. Práce se zabývá různými kritérii regularity oblastí a vztahy mezi nimi: implikace, které jsou již známy, jsou v práci dokázány a neplatnost jiných je předvedena na protipříkladech. Tyto vztahy jsou také doplněny o jednu implikaci nezmíněnou v dostupné literatuře. Následuje definice a souhrn základních vlastností isoperimetrického profilu oblasti, přičemž důraz je kladen na jeho aplikaci v podobě konstrukce Maz'jových tříd regularity.