Logical Foundations of Quantum Mechanics

Abstract

Logical Foundations of Quantum Mechanics This thesis studies residuated ortholattices (ROL) and their associative subvariety (A-ROL) in the context of quantum logic. Residuated ortholattices provide a broader algebraic setting for orthomodular lattices by requiring residuation of the Sasaki product. The thesis includes an explicit equational proof that ROL is a variety and situates both ROL and A-ROL within the surrounding lattice-theoretic landscape. In particular, it proves that ROL properly extends OML, while A-ROL is a proper subvariety of ROL incomparable with OML. It is further shown that, in every algebra in A-ROL, the Sasaki-product reduct is a left regular band, whereas every proper equational strengthening in the pure language of the Sasaki product collapses to Boolean algebras. Finally, the thesis introduces and analyzes an explicit family of finite algebras to prove that A-ROL has infinitely many subvarieties. Keywords: residuated ortholattices, associative residuated ortholattices, quantum logic, Sasaki product, orthomodular lattices

Logické Základy Kvantové Mechaniky Tato práce se zabývá reziduovanými ortosvazy (ROL) a jejich asociativní podvarietou (A-ROL) v kontextu kvantové logiky. Reziduované ortosvazy poskytují širší alge- braický rámec pro ortomodulární svazy tím, že vyžadují reziduaci Sasakiho součinu. Práce obsahuje důkaz pomocí identit, že ROL tvoří varietu, a zasazuje tak ROL i A-ROL do okolního svazově-teoretického prostředí. Konkrétně dokazuje, že ROL je vlastní nadvarietou OML, zatímco A-ROL je vlastní podvarietou ROL, a že A-ROL je s OML neporovnatelná vzhledem k inkluzi. Dále je ukázáno, že pro každou algebru z A-ROL tvoří její redukt podle Sasakiho součinu levý regulární band, zatímco každé vlastní zesílení pomocí identity v čistém jazyce Sasakiho součinu vede ke kolapsu na Booleovy algebry. Nakonec práce konstruuje a analyzuje explicitní posloupnost konečných algeber, pomocí níž dokazuje, že A-ROL má nekonečně mnoho podvariet. Klíčová slova: reziduované ortosvazy, asociativní reziduované ortosvazy, kvantová logika, Sasakiho součin, ortomodulární svazy