Morphologic transforms of polyconvex bodies

Abstract

We study the behaviour of morphological operations Minkowski sum, subtraction and their compositions, with respect to infinitesimal structuring elements. For a compact set A which is a polytope, convex, or polyconvex body we present a limit relationship for the integral over a set in the neighborhood of the boundary of A obtained using these operations. We slightly generalize the formula to more functions than just the indicators as in past works. We present the proof in greater detail, opting to use more elementary methods, where aplicable, correcting some minor gaps. For polytopes we provide a self- contained elementary proof, avoiding the Steiner type formula for general closed sets. For convex and polyconvex bodies we use an approach similar to the existing proof where a generalized Steiner formula used on the boundary of A plays a significant role.

Zabýváme se chováním morfologických operací Minkowského sčítání a odčítání a je- jich složení při použití na infinitezimální strukturální elementy. Pro kompaktní množinu A, která je polytop, konvexní nebo polykonvexní těleso, uvádíme limitní vztah pro inte- grál přes množinu v okolí hranice A získanou použitím těchto operací. Vzorec jsme mírně zobecnili na více funkcí než jen indikátory uvažované v předchozích pracích. Rozvádíme důkaz do větších detailů, za využití elementárnějšího postupu, kde je to možné, a opra- vujeme některé předchozí drobné nedostatky. Pro polytopy provedeme z většiny odlišný elementární důkaz, vyhneme se použití Steinerova vzorce pro obecné uzavřené množiny. Pro konvexní a polykonvexní tělesa používáme víceméně stávající přístup, kde Steinerův vzorec použitý na hranici A hraje významnou roli.