Discrete Gaussian and Algorithms on Lattices

Abstract

The discrete Gaussian distribution DL,s assigns each point x of a lattice L a probability proportional to e−π∥x∥2/s2 , and sampling from it is the engine of the 2n+o(n) -time algorithm for the exact Shortest Vector Problem (SVP) of Aggarwal, Dadush, Regev, and Stephens- Davidowitz (2015). This thesis presents that algorithm in full: the sampler of Gentry, Peikert, and Vaikuntanathan, which draws from DL,s above the smoothing parameter of the lattice; the combiner, which averages pairs of samples from a common coset of 2L to shrink the parameter by a factor √ 2 at a time; and the choice of the final parameter at which 2n/2 samples contain a shortest vector with high probability, solving SVP in time 2n+o(n) . An experimental part implements the algorithm in exact arithmetic, runs it on TU Darmstadt SVP Challenge lattices, and tunes the combiner into higher-yield variants.

Diskrétní Gaussovo rozdělení DL,s přiřazuje každému bodu x mříže L pravděpodob- nost úměrnou e−π∥x∥2/s2 a vzorkování z něj je jádrem algoritmu Aggarwala, Dadushe, Regeva a Stephense-Davidowitze (2015), který řeší přesnou verzi problému nejkratšího vektoru (SVP) v čase 2n+o(n) . Tato práce uvedený algoritmus podrobně vykládá: vzorko- vač Gentryho, Peikerta a Vaikuntanathana, který vzorkuje z DL,s nad vyhlazovacím para- metrem mříže; kombinátor, který průměrováním dvojic vzorků ze společné třídy rozkladu podle 2L zmenšuje parametr po krocích o faktor √ 2; a volbu závěrečného parametru, při níž 2n/2 vzorků s velkou pravděpodobností obsahuje nejkratší vektor, čímž se SVP řeší v čase 2n+o(n) . Experimentální část algoritmus implementuje v přesné aritmetice, spouští jej na mřížích SVP Challenge TU Darmstadt a ladí kombinátor do variant s vyšší výtěžností.