Cryptographic permutations from biprojective functions

Abstract

In this thesis we study APN permutations, which make ideal S-boxes due to their best possible resistance to differential cryptanalysis. In even dimension only one APN permutation is known: the one obtained for n = 6 from the Kim function via CCZ- equivalence. After a self-contained introduction to APN functions, the Walsh transform and CCZ-equivalence, we search for further functions of the same shape. Writing n = 2m, we restrict ourselves to the biprojective functions, the class the Kim function belongs to, and classify them up to a natural equivalence. We rule out all classes but one. A computer search finds no APN function in the remaining family beyond the Kim function, but we prove that outside of degenerate cases the differential uniformity of these functions is at most 2(m+1)/2 , and 4 in a large subfamily.

V této práci studujeme APN permutace, které jsou díky nejlepší možné odolnosti vůči diferenciální kryptoanalýze ideálními S-boxy. V sudé dimenzi je známa jediná APN permutace: ta, kterou pro n = 6 dostaneme z Kimovy funkce pomocí CCZ-ekvivalence. Po uceleném úvodu do APN funkcí, Walshovy transformace a CCZ-ekvivalence hledáme další funkce stejného tvaru. Položíme n = 2m a omezíme se na biprojektivní funkce, tedy na třídu, do níž Kimova funkce patří, a klasifikujeme je až na přirozenou ekvivalenci. Všechny třídy až na jednu vyloučíme. Počítačové hledání nenajde ve zbývající rodině kromě Kimovy funkce žádnou APN funkci, dokážeme však, že mimo degenerovaných případů je diferenciální uniformita těchto funkcí nejvýše 2(m+1)/2 a ve velké podrodině rovna 4.