Squares in composite number fields

Abstract

V této práci se zabýváme složenými tělesy L, která jsou vytvořena jako kompozitum nejjednoduššího kubického tělesa a kvadratického tělesa; zaměřujeme se především na jejich čtverce a vztahy s jejich podtělesy. Konkrétně charakterizujeme, kdy může být prvek podtělesa čtvercem ve složeném tělese. Dále studujeme Pythagorovo číslo, které udává minimální počet čtverců potřebných k vyjádření každého algebraického celého čísla v L, které lze zapsat jako součet čtverců. Nejprve odvozujeme dolní odhady 5 nebo 6 pomocí vhodných prvků z podtěles. Následně ukazujeme, že za určitých podmínek lze tyto odhady zlepšit na 7. Také prezentujeme algoritmus pro nalezení všech totálně kladných prvků okruhu algebraických celých čísel do dané stopy a ověřujeme, zda jsou čtverci nebo součty čtverců, včetně implementace.

In this thesis, we study composite fields L composed of a simplest cubic field and a quadratic field; mainly, we focus on its squares and the relationship with its subfields. In particular, we characterize when an element of a subfield can be a square in the composite field. Furthermore, we study the Pythagoras number, which gives the minimal number of squares required to express every algebraic integer in L representable as a sum of squares. For that, first, we provide lower bounds 5 or 6 using suitable elements from subfields. Second, we show that under some conditions, these estimates can be improved to get 7. We also present an algorithm for finding all totally positive elements of the ring of algebraic integers up to a given trace and check whether they are squares or sums of squares, together with an implementation.