Finite sets and distances

Abstract

V této dizertační práci předkládáme několik nových výsledků v kombinatorice, ve kterých hraje roli pojem vzdálenosti. V první se zaměříme na metrické prostory indukované grafy, které vznikly pomocí jednoduché "nafukovací" operace z bipartitních grafů. Ukážeme, že pokud tyto grafy nemají univerzální přímku, tak mají nejméně tolik přímek jako vrcholů. Vyřešíme tak otevřenou otázku, položenou Chenem a Chvátalem. Dále definujeme pojem tzv. kotvy. Kotva je množina trojic v metrickém prostoru taková, že degenerovanost těchto trojic vynutí degenerovanost i všech ostatních trojic. Představíme konstrukci kotev kvadrat- ické velikosti vzhledem k počtu bodů. A nakonec se zaměříme na extremální problém, který souvisí s naším studiem kotev a má přesah do Turánovy teorie hypergrafů. Ve druhé kapitole studujeme kvazimetrické prostory a přímky v nich. Nejprve dokážeme, že počet přímek v kvazimetrických prostorech s konstantním průměrem není konstantní. Poté předložíme charakterizaci kvazimetrických prostorů, které mají jen jednu přímku. A nakonec charakterizujeme kvazimetrické prostory se třemi nebo čtyřmi přímkami, z nichž žádná není univerzální. Ve třetí kapitole se zabýváme Steinerovým problémem...