Veta o izomorfizme štandardných borelovských priestorov

Abstract

The subject of this bachelor's thesis is the complete classification of standard Borel spaces formulated in the Borel Isomorphism Theorem. This theorem states that standard Borel spaces with the same cardinality are identical from the perspective of Borel sets, up to an isomorphism. In this work, we present the complete proof of this theorem in a single, self-contained text, expanding the individual steps into greater detail compared to the publication on which this thesis is based. As part of the proof, we derive several propositions concerning Polish spaces that are of independent significance. For instance, we establish that any Polish space can be uniquely decomposed as a disjoint union of a perfect set and a countable open set. Furthermore, we examine the relationships between the Cantor space, the Baire space, and a general Polish space.

Predmetom tejto bakalárskej práce je úplná klasifikácia štandardných borelovských priestorov formulovaná vo vete o borelovskom izomorfizme, ktorá nám hovorí, že štan- dardné borelovské priestory s rovnakou kardinalitou sú až na izomorfizmus totožné z hľa- diska borelovských množín. Spracujeme v nej celý dôkaz tejto vety do jedného uceleného textu, pričom jeho jednotlivé kroky rozvedieme do väčších detailov v porovnaní s publi- káciou, z ktorej práca vychádza. V rámci dôkazu obdržíme viaceré tvrdenia o poľských priestoroch, ktoré majú samostatný význam. Napríklad získame, že poľský priestor sa dá jednoznačne napísať ako disjunktné zjednotenie perfektnej a spočítateľnej otvorenej množiny. Taktiež sa pozrieme na súvislosť medzi Cantorovým, Baireovým a všeobecným poľským priestorom.