Soulution of one-dimensional scalar variational problems

Abstract

This thesis studies the optimal shape of a plant stem balancing bending stiffness, gravity, and light-seeking. We combine the Beer-Lambert law with Euler-Bernoulli beam theory to formulate a fourth-order nonlinear boundary value problem. The governing equation is derived using the calculus of variations. We solve six limiting cases analytically and the full problem numerically using MATLAB's bvp4c. Stability is verified through the second variation. The key finding is that the ratio between gravitational load and light force determines whether phototropism matters: applied to wheat and sunflower, we show that wheat responds visibly to light while sunflower behavior is dominated by gravity, despite both having similar flexural rigidity. The singular perturbation structure of the zero-stiffness limit is identified. The model provides a simple variational framework connecting plant shape optimization with beam mechanics.

Tato práce studuje optimální tvar stonku rostliny vyvažující ohybovou tuhost, gravi- taci a orientaci ke světlu. Kombinujeme Beerův-Lambertův zákon s Eulerovou-Bernoulliho teorií nosníků, abychom formulovali nelineární okrajovou úlohu čtvrtého řádu. Rovnice je odvozena pomocí variačního počtu. Řešíme šest hraničních případů analyticky a celý problém numericky pomocí MATLAB bvp4c. Stabilita je ověřena pomocí druhé variace. Klíčovým zjištěním je, že poměr mezi gravitačním zatížením a silou světla určuje, zda je fototropismus důležitý: při aplikaci na pšenici a slunečnici ukazujeme, že pšenice viditelně reaguje na světlo, zatímco slunečnice je ovládána gravitací, přestože obě mají podobnou ohybovou tuhost. Je identifikována singulární perturbační struktura limity pro nulovou tuhost. Model poskytuje jednoduchý variační rámec spojující optimalizaci tvaru rostlin s mechanikou nosníků.