Separované a ekvilaterální množiny v Banachových prostorech

Abstract

In this thesis, we investigate the conditions under which the unit ball of a Banach space contains an infinite or uncountable separated/equilateral set. We review results from several recent papers, most notably one by Koszmider and Wark and one by Hájek, Kania and Russo, ultimately leading us to the formulation of two currently open problems. The former concerns the existence of an uncountable (1+)-separated subset of BX for every Banach space X satisfying dens X ∈ (2ω , exp4(ω)], while the latter deals with the question whether every Banach space satisfying dens(X) ∈ (2ω , 22ω ] contains an infinite equilateral subset of BX.

V práci se věnujeme podmínkám, za nichž obsahuje jednotková koule Banachova pro- storu nekonečnou či nespočetnou separovanou/ekvilaterální množinu. Zpracováváme vý- sledky nedávných článků, zejména pak práce dvojice Koszmider, Wark a trojice Hájek, Kania, Russo, které nás nakonec dovedou k uvedení dvou současných otevřených pro- blémů. První z nich se týká toho, zda každý Banachův prostor X splňující dens X ∈ (2ω , exp4(ω)] obsahuje nespočetnou (1+)-separovanou podmnožinu BX. Druhý se nao- pak zaměřuje na to, zda každý Banachův prostor splňující dens(X) ∈ (2ω , 22ω ] obsahuje nekonečnou ekvilaterální podmnožinu BX.