Mumford-Shah funkcional v jedné dimenzi

Abstract

In this bachelor's thesis we investigate a one-dimensional version of the Mumford-Shah functional and the associated minimisation problem. We first present selected concepts and results from functional analysis, measure theory, and the theory of functions of bounded variation. We then introduce the space of special functions of bounded vari- ation, which provides a natural setting for formulating and solving the problem under consideration. Next, we define the one-dimensional Mumford-Shah functional and study its basic properties. Using the direct method in the calculus of variations, we prove the existence of a minimiser. Finally, we give a concrete example showing that the minimiser need not be unique.

V této bakalářské práci zkoumáme jednorozměrnou verzi Mumfordova-Shahova funk- cionálu a minimalizační úlohu, která s ním souvisí. Nejprve uvádíme vybrané pojmy a výsledky z funkcionální analýzy, teorie míry a teorie funkcí s omezenou variací. Dále za- vádíme prostor speciálních funkcí s omezenou variací, jenž je přirozený pro formulaci a řešení zkoumaného problému. V následující části definujeme jednorozměrnou verzi Mum- fordova-Shahova funkcionálu a studujeme jeho základní vlastnosti. Pomocí přímé metody variačního počtu dokážeme, že minimizér existuje. Závěrem uvádíme konkrétní příklad, na němž ukazujeme, že minimizér nemusí být určen jednoznačně.