Hierarchical matrices

Abstract

This thesis defines hierarchical matrices in the HODLR format and funda- mental algebraic operations on them. Subsequently, it describes methods for solving linear systems using these matrices via the Cholesky decomposition and the conjugate gradient method. HODLR matrices are constructed via Adap- tive Cross Approximation, which we implement using a custom heuristic based on gradient descent. For practical application, the boundary element method is applied to the two-dimensional Laplace equation. Numerical experiments combine our implementations with the hm-toolbox for MATLAB. We experi- ment with various approaches for solving the linear systems from the boundary element method. We compare the Cholesky decomposition and the conjugate gradient method. Furthermore, we evaluate the efficiency of our Adaptive Cross Approximation compared to the implementation from the hm-toolbox.

V této práci zavádíme koncept hierarchických matic ve formátu HODLR a taky základních algebraických operací s nimi. Následně práce popisuje metody jejich využití pro řešení soustav lineárních rovnic pomocí Choleského rozkladu a metody sdružených gradientů. Matice v HODLR formátu konstruujeme po- mocí adaptivní křížové aproximace, kterou implementujeme s využitím vlastní heuristiky založené na metodě největšího spádu. Jako příklad aplikace uvádíme metodu hraničních prvků pro dvoudimenzionální Laplaceovu rovnici. Numer- ické experimenty provádíme v prostředí MATLAB za pomoci knihovny hm- toolbox. V experimentech pracujeme se soustavami lineárních rovnic z metody hraničních prvků a porovnáváme Choleského rozklad s metodou sdružených gra- dientů. Navíc vyhodnocujeme úspěšnost naší implementace adaptivní křížové aproximace vůči knihovně hm-toolbox.