Blokový CG a Lanczosův algoritmus

Abstract

The basic method for solving a system with a symmetric positive-definite matrix and a single right-hand side is the conjugate gradient (CG) method. If there are multiple right-hand sides, we can use the block conjugate gradient (BCG) method. In this thesis, we derive the BCG algorithm and present a theory for its analysis under the assumption of full column rank of the block vectors. This theory includes block Krylov subspaces, whose bases can be constructed using the block Lanczos algorithm. Based on the literature, we derive a connection between these algorithms. In cases where the full column rank assumption fails, a so-called breakdown occurs in the BCG algorithm. In this thesis, we also present two strategies that allow this situation to be resolved. Numerical experiments illustrate the theoretical results and demonstrate the efficiency of the proposed block methods.

Základní metodou pro řešení soustavy se symetrickou pozitivně definitní maticí a jednou pravou stranou je metoda sdružených gradientů (CG). Řešíme-li soustavu s více pravými stranami, můžeme použít blokovou metodu sdružených gradientů (BCG). V této práci podrobně algoritmus BCG odvozujeme a prezentujeme teorii pro jeho analýzu za předpokladu plné sloupcové hodnosti blokových vektorů. Součástí této teorie jsou také blokové Krylovovy prostory, jejichž bázi lze počítat blokovým Lanczosovým algoritmem. Na základě literatury odvozujeme souvislost mezi těmito algoritmy. V případech, kdy předpoklad plné sloupcové hodnosti neplatí, dochází v algoritmu BCG k takzvanému bre- akdownu. V této práci rovněž prezentujeme dvě strategie, které umožňují tuto situaci řešit. Pomocí numerických experimentů demonstrujeme teoretické výsledky a efektivitu blokových algoritmů.