Comparison of iterative regularization methods based on short recurrences

Abstract

In this thesis, we study a linear inverse problem Ax = b, where A is a linear operator with smoothing properties, and b represents measured data polluted by noise. First, we give a theoretical background to inverse problems arising from the Fredholm integral equation of the first kind. Then we describe in detail two regularizing Krylov subspace methods for approximating the solution, namely CGLS and LSQR, and provide their implementation. Proper stopping criteria are discussed, in order to prevent overfitting of the noisy data. Last, we present numerical experiments to demonstrate previously studied properties of discrete inverse problems and the behavior of the methods. 1

V této práci se zabýváme lineárním inverzním problémem Ax = b, kde A je zhlazující lineární operátor a b představuje naměřená data obsahující naměřené chyby. Nejprve popisujeme teorii potřebnou k pochopení inverzních problémů, které lze interpretovat ve tvaru Fredholmova integrálu prvního druhu. Poté ukážeme odvození dvou Krylovovských metod CGLS a LSQR. Přikládáme i je- jich implementaci. Věnujeme se také semikonvergenci a zastavovacím kritériím. Nakonec všechny vlastnosti inverzních úloh, které jsme popsali, ilutrujeme na vybraných experimentech. 1