Numerical linear algebra in POSIT arithmetic

Abstract

In recent years, several new number formats have emerged. Although most of which are specialized for concrete applications. Posits and Takums are two recent standards for computer arithmetic which aim to be universal replacements of the commonly used IEEE 754 standard. In this thesis, we present an introduction to these number formats and highlight their main differences. Furthermore, we go over relevant theoretical in- sights regarding the LU decomposition, as well as the incomplete LU decomposition of sparse matrices. We assess the usefulness of Posit and Takum arithmetic by measuring the quality of incomplete LU factorizations computed with simulated arithmetic. We demonstrate that both the Posit and Takum 16-bit formats outperform 16-bit IEEE 754 floating-point numbers at producing incomplete LU decompositions.

V posledních letech se objevilo více nových numerických formátů. Většina z nich je ovšem specializovaná na konkrétní aplikace. Posity a Takumy jsou dva nedávno předsta- vené standardy pro počítačovou aritmetiku, které si dávají za cíl být univerzální náhradou za standard IEEE 754. V této práci poskytneme úvod do fungování těchto numerických formátů a vyzdvihneme jejich vzájemné rozdíly. Dále prezentujeme relevantní teoretické poznatky k LU rozkladům a neúplným LU rozkladům řídkých matic. Posoudíme uži- tečnost positové a takumové aritmetiky prostřednictvím měření kvality neúplných LU rozkladů spočtených za pomoci simulované aritmetiky. Ukážeme, že 16bitové formáty, jak positové, tak takumové aritmetiky, dosahují při výpočtu neúplných LU rozkladů spo- lehlivějších výsledků než 16bitový formát s plovoucí desetinnou čárkou standardu IEEE 754.