Metropolis-Hastingsov algoritmus markovského Monte Carlo

Abstract

Title: Metropolis-Hastings Algorithm of Markov Chain Monte Carlo Author: Martin Janco Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: prof. RNDr. Viktor Beneš, DrSc., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: This thesis studies the Metropolis-Hastings algorithm - a method for generating samples from a target distribution within the framework of Markov chain Monte Carlo (MCMC). In the first chapter, we develop the theoretical foundations of Markov chains with a finite state space. In the second chapter, we define the Metropolis-Hastings algorithm and the Gibbs sampler as its special case, and we prove their correctness via the detailed balance condition. In the third chapter, we apply the Gibbs sampler to the hard-core model on a square lattice. We prove irreducibility, aperiodicity, and detailed balance of the chain, thereby guaranteeing its convergence to the uniform distribution over feasible configurations. We implement the MCMC simulation in Python for various sizes of the square lattice. Keywords: Metropolis-Hastings algorithm, Markov chain Monte Carlo, Gibbs sampler, hard-core model, detailed balance

Názov práce: Metropolis-Hastingsov algoritmus markovského Monte Carlo Autor: Martin Janco Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedúci bakalárskej práce: prof. RNDr. Viktor Beneš, DrSc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: Práca sa zaoberá Metropolis-Hastingsovým algoritmom - metódou generovania vzoriek z ciel'ového rozdelenia v rámci markovského Monte Carla (MCMC). V prvej kapitole zavádzame teoretické základy Markovových ret 'azcov s konečným stavovým priestorom. V druhej kapitole definujeme Metropolis- Hastingsov algoritmus a Gibbsov výber ako jeho špeciálny prípad a dokazujeme ich korektnost ' prostredníctvom detailnej rovnováhy. V tretej kapitole aplikujeme Gibbsov výber na hard-core model na štvorcovej mriežke. Dokazujeme ireducibi- litu, aperiodicitu a detailnú rovnováhu ret 'azca, čím zaručujeme jeho konvergenciu k rovnomernému rozdeleniu na prípustných konfiguráciách. MCMC simuláciu sme implementovali v jazyku Python pre rôzne rozmery štvorcovej mriežky. Kl'účové slová: Metropolis-Hastingsov algoritmus, markovský Monte Carlo, Gibb- sov výber, hard-core model, detailná rovnováha